Question

已知函数y=sin（

1

2

x-

π

3

）．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）的对称轴和对称中心；
（4）求函数f（x）的最大值和最小值及取得最大最小值时x对应的值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,正弦函数的对称性,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的周期T=

2π

ω

，求出周期；
（2）根据正弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调区间；
（3）根据正弦函数的对称性，求出函数f（x）的对称轴与对称中心；
（4）根据正弦函数的最值，求出f（x）的最大、最小值以及对应的x的值．

解答： 解：（1）∵函数y=sin（

1

2

x-

π

3

），∴f（x）的周期是T=

2π

1 2

=4π；
（2）∵-

π

2

+2kπ≤

1

2

x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

6

+2kπ≤

1

2

x≤

5π

6

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+4kπ≤x≤

5π

3

+4kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的增区间是[-

π

3

+4kπ，

5π

3

+4kπ]，k∈Z；
同理，f（x）的减区间是[

5π

3

+4kπ，

11π

3

+4kπ]，k∈Z；
（3）令

1

2

x-

π

3

=

π

2

+kπ，k∈Z，
得

1

2

x=

5π

6

+kπ，k∈Z，
∴x=

5π

3

+2kπ，k∈Z；
再令

1

2

x-

π

3

=kπ，k∈Z，
得

1

2

x=

π

3

+kπ，k∈Z，
∴x=

2π

3

+2kπ，k∈Z；
∴函数f（x）的对称轴是x=

5π

3

+2kπ，k∈Z，
对称中心是（

2π

3

+2kπ，0），k∈Z；
（4）令

1

2

x-

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
得

1

2

x=

5π

6

+2kπ，k∈Z，
∴x=

5π

3

+4kπ，k∈Z，此时f（x）取得最大值1；
再令

1

2

x-

π

3

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
得

1

2

x=-

π

6

+2kπ，k∈Z，
∴x=-

π

3

+4kπ，k∈Z，此时f（x）取得最小值-1．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应利用正弦函数的图象与性质进行解答，是基础题．