Question

椭圆

x2

m2

+y2=1（m＞1）与双曲线

x2

n2

-y2=1（n＞0）有公共焦点F₁，F₂．P是两曲线的交点，则S△F1PF2=（　　）

• A、4
• B、2
• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n，由它们有相同的焦点，得到m²-n²=2，根据双曲线和椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2m，|PF₁|-|PF₂|=2n，△PF₁F₂ 中，由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF₁F₂的面积公式即可运算得到结果．

解答： 解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n，
由它们有相同的焦点，得到m²-1=n²+1，即m²-n²=2．
不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2n，①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2m，②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2n²+2m²，
∴|PF₁|•|PF₂|=m²-n²=2，
∴cos∠F₁PF₂|=

2n2+2m2-4(m2-1)

2×2

=0，
∴△F₁PF₂的形状是直角三角形
△PF₁F₂的面积为

1

2

•PF₁•PF₂=

1

2

×2=1．
故选C．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．