Question

在三棱锥A-BCD中，平面ACB⊥平面BCD．在等腰直角三角形ABC中，AC=AB，AC=6，在Rt△BCD中，BC⊥BD，∠BCD=30°
（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求三棱锥C-ABD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用平面ABD⊥平面ACD证AC⊥平面ABD，再由线面垂直证明面面垂直；
（2）求出S_△ABC，BD，即可求三棱锥C-ABD的体积．

解答： （1）证明：∵平面ACB⊥平面BCD，平面ACB⊥平面BCD=BC，BD⊥BC，
∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥AC，
又∵AB⊥AC，AB∩BD=B，
∴AC⊥平面ABD，
又AC?平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD；
（2）解：∵在等腰直角三角形ABC中，AC=AB，AC=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×6=18，
∵在Rt△BCD中，BC⊥BD，∠BCD=30°，BC=6

2

∴BD=2

6

，
∴V_C-ABD=

1

3

×18×2

6

=12

6

．

点评：本题考查了面面垂直的性质与判定，考查了三棱锥C-ABD的体积，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．