Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足：f（xy）=xf（y）+yf（x）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并写出证明过程；
（Ⅱ） 求证：?x，y∈R且y≠0：f（

x

y

）=

yf(x)-xf(y)

y2

；
（Ⅲ） 已知f（2）=2，设a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=-x，即可证函数f（x）是奇函数；
（Ⅱ）令x=y=1，求得f（1）=0，再令y=

1

x

，得到f（

1

x

）=-

1

x2

f（x），继而求证．
（Ⅲ）令x=2，y=2^n-1，求得a_n=2a_n-1+2n，继而得到{

an

2n

}是以1为首项，1为公差的等差数列，

解答： 解：（Ⅰ）f（x）是奇函数，
令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，即
f（-x）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数，
（Ⅱ）证明：令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
∵f（xy）=xf（y）+yf（x），
∴x≠0时，f（x•

1

x

）=xf（

1

x

）+

1

x

f（x）=0
∴f（

1

x

）=-

1

x2

f（x），
∴?x，y∈R且y≠0，f（

x

y

）=f（x•

1

y

）=xf（

1

y

）+

1

y

f（x）=-

x

y2

f（y）+

1

y

f（x）=

yf(x)-xf(y)

y2

；
∴?x，y∈R且y≠0：f（

x

y

）=

yf(x)-xf(y)

y2

；
（Ⅲ）∵a₁=f（2）=2 且f（xy）=xf（y）+yf（x）．
  令x=2，y=2^n-1，
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，
即a_n=2a_n-1+2n（n≥2），
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
∴{

an

2n

}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴

an

2n

=1+（n-1），
即a_n=n•2ⁿ．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，考查等差数列的问题，属于中档题．