Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

-1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，P为椭圆上异于A₁，A₂的点，|A₁A₂|=6，PA₁和PA₂的斜率之积为-

4

9

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为椭圆中心，M，N是椭圆上的异于顶点的两个动点，求△OMN面积的最大值，并求面积取得最大值时，OM与ON的斜率之积是多少？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知得A₁（-3，0），A₂（3，0），利用斜率计算公式可得kPA1•kPA2=

y02

x02-9

=-

4

9

，由于P（x₀，y₀）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，可得

y02

x02-a2

=-

b2

a2

，又2a=6，解出即可．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．利用三角形面积计算公式与柯西不等式即可得出．

解答： 解：（1）由已知得A₁（-3，0），A₂（3，0），
设P（x₀，y₀），则kPA1=

y0

x0+3

，kPA2=

y0

x0-3

，
∵PA₁和PA₂的斜率之积为-

4

9

，
∴kPA1•kPA2=

y0

x0+3

•

y0

x0-3

=

y02

x02-9

=-

4

9

，
∵P（x₀，y₀）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1，∴

y02

x02-a2

=-

b2

a2

，
又2a=6．
∴a²=9，b²=4，
∴椭圆C的标准方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∴S_△MON=

1

2

|x1y2-x2y1|=

6

2

|

x1

3

•

y2

2

+

-x2

3

•

y1

2

|≤3

[( x1 3 )2+( y1 2 )2][(- x2 3 )2+( y2 2 )2]

=3，
∴△MON的面积的最大值为3．
当且仅当：

y1y2

x1x2

=-

4

9

时，取等号，此时k_OM•k_ON=-

4

9

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、柯西不等式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．