Question

已知函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x（a＞0）．
（1）若函数f（x）在x=0处取极值，求a的值；
（2）如图，设直线x=-

1

2

，y=-x将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数y=f（x）的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；
（3）比较3²×4³×5⁴×…×2014²⁰¹³与2³×3⁴×4⁵×…×2013²⁰¹⁴的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,对数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，从而由题意可得f′（0）=-4a+1=0，从而求a并检验；
（2）函数的定义域为（-

1

2

，+∞），由题意可得f（x）＜-x，从而可得a＞

ln(2x+1)

2x+1

，令h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

，化为函数的最值问题；
（3）由函数h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

在（

e-1

2

，+∞）上单调递减可得函数P（x）=

lnx

x

在（e，+∞）上单调递减，从而可推出当x∈（e，+∞）时，（x-1）^x＞x^（x-1），从而判断大小关系．

解答： 解：（1）f（x）=（2x+1）ln（2x+1）²-a（2x+1）²-x（a＞0），
f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1；
∵f（x）在x=0处取极值，
∴f′（0）=-4a+1=0．
∴a=

1

4

（经检验a=

1

4

符合题意）．
（2）因为函数的定义域为（-

1

2

，+∞），
且当x=0时，f（0）=-a＜0．
又直线y=-x恰好通过原点，
所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅳ内，
于是可得f（x）＜-x，
即（2x+1）ln（2x+1）²-a（2x+1）²-x＜-x．
∵2x+1＞0，
∴a＞

ln(2x+1)

2x+1

．
令h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

，
∴h′（x）=

2-2ln(2x+1)

(2x+1)2

，
令h′（x）=0，得x=

e-1

2

．
∵x＞-

1

2

，
∴x∈（-

1

2

，

e-1

2

）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（

e-1

2

，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
∴h_max（x）=h（

e-1

2

）=

1

e

．
∴a的取值范围是a＞

1

e

． 
（3）：由（2）知，函数h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

在（

e-1

2

，+∞）上单调递减，
函数P（x）=

lnx

x

在（e，+∞）上单调递减．
∴

ln(x-1)

x-1

＞

lnx

x

，
∴xln（x-1）＞（x-1）lnx；
∴ln（x-1）^x＞lnx^（x-1），
即当x∈（e，+∞）时，（x-1）^x＞x^（x-1），
∴令x=4，5，…，2011，
则3⁴＞4³，4⁵＞5⁴，…，2011²⁰¹²＞2012²⁰¹¹；
又∵2³×3⁴＞3²×4³；
∴3²×4³×5⁴×…×2014²⁰¹³＜2³×3⁴×4⁵×…×2013²⁰¹⁴．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，同时考查了构造函数比较大小的方法，属于难题．