Question

2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁是菱形，侧面C₁CBB₁是矩形．
（1）D是棱B₁C₁上一点，AC₁∥平面A₁BD，求证：D为B₁C₁的中点；
（2）若A₁B⊥AC₁，求证：平面A₁ABB₁⊥平面C₁CBB₁．

Answer 1

分析 （1）连结AB₁交A₁B于E，连结DE，由AC₁∥平面A₁BD可得AC₁∥DE，由E为AB₁的中点即可得出D是B₁C₁的中点；
（2）证明A₁B⊥平面AB₁C₁，得出A₁B⊥B₁C₁，再结合B₁C₁⊥BB₁得出B₁C₁⊥平面A₁ABB₁，于是平面A₁ABB₁⊥平面C₁CBB₁．

解答 证明：（1）连结AB₁交A₁B于E，连结DE．
∵AC₁∥平面A₁BD，AC₁?平面AB₁C₁，平面AB₁C₁∩平面A₁BD=DE，
∴AC₁∥DE，
∵侧面A₁ABB₁是菱形，∴E是AB₁的中点，
∴D是B₁C₁的中点．
（2）∵侧面A₁ABB₁是菱形，∴AB₁⊥A₁B，
又A₁B⊥AC₁，AB₁∩AC₁=A，AB₁?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，
∴A₁B⊥平面AB₁C₁，又B₁C₁?平面AB₁C₁，
∴A₁B⊥B₁C₁，
∵侧面C₁CBB₁是矩形，∴B₁C₁⊥BB₁，
又BB₁∩A₁B=B，BB₁?平面A₁ABB₁，A₁B?平面A₁ABB₁，
∴B₁C₁⊥平面A₁ABB₁．
∵B₁C₁?平面C₁CBB₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面C₁CBB₁．

点评 本题考查了线面平行的性质，面面垂直的判定，属于中档题．