Question

14．如图，已知多面体EABCDF的底面是ABCD边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=$\frac{1}{2}$EA=1．
（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线KM，使得KM∥平面ECF，并给予证明．
（Ⅱ）求点B到平面ECF的距离．

Answer 1

分析 （I）取线段CD的中点M，连接KM，直线KM即为所求．借助于KM∥BD∥FG给出证明；
（II）利用V_E-DCF=V_D-EFC=V_A-FDC求出D到平面EFC的距离即可．

解答 解：（Ⅰ）取线段CD的中点M，
连接KM，直线KM即为所求．
证明如下：
取EC中点G，连接FG，连接AC交BD于O．
则OG为△EAC的中位线．
∴OG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$EA，又FD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$FA，
∴OG$\stackrel{∥}{=}$FD，
∴四边形FGOD为平行四边形，∴FG∥OD．
∵K，M分别为BC，CD的中点，
∴KM∥OD，∴KM∥FG．
∵FG?平面EFC，KM?平面EFC，
∴KM∥平面EFC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD∥FG，又BD?平面EFC，FG?平面EFC，
∴BD∥平面EFC，
∴B到平面EFC的距离等于D到平面EFC的距离，设为h．
∵EA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴EA⊥AD，又FD∥EA，
∴FD⊥AD，
又∵AD⊥CD，CD∩FD=D，
∴AD⊥平面DCF．
∴V_E-DCF=V_A-DCF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2$=$\frac{2}{3}$，
在△ECF中，∵EF=FC=$\sqrt{5}$，∴FG⊥EC，
又FG=OD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，EC=$\sqrt{E{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴S_△EFC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．
∴V_D-EFC=$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×h$，
∵V_E-DCF=V_D-EFC，∴$\frac{\sqrt{6}h}{3}$=$\frac{2}{3}$，
解得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴B到平面EFC的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，体积与空间距离的计算，属于中档题．