Question

10．设x+4y=4（y＞0），0＜t＜z，则$\frac{{4{z^2}}}{|x|}+\frac{{|{x{z^2}}|}}{y}+\frac{12}{{t（{z-t}）}}$的最小值为24．

Answer 1

分析 利用基本不等式求出前两项和第三项的最小值，再利用基本不等式得出三项的和的最小值．

解答 解：∵t（z-t）≤（$\frac{z}{2}$）²=$\frac{{z}^{2}}{4}$，∴$\frac{12}{t（z-t）}$≥$\frac{48}{{z}^{2}}$，当且仅当t=z-t即z=2t时取等号，
∵x+4y=4，
∴$\frac{4{z}^{2}}{|x|}$+$\frac{|x{z}^{2}|}{y}$=z²（$\frac{x+4y}{|x|}$+$\frac{|x|}{y}$）=z²（$\frac{x}{|x|}$+$\frac{4y}{|x|}$+$\frac{|x|}{y}$）≥z²（$\frac{x}{|x|}$+4）≥3z²，当且仅当x²=4y²，x＜0即x=-4，y=2时取等号，
∴$\frac{{4{z^2}}}{|x|}+\frac{{|{x{z^2}}|}}{y}+\frac{12}{{t（{z-t}）}}$≥3z²+$\frac{48}{{z}^{2}}$≥2$\sqrt{3×48}$=24．当且仅当3z²=$\frac{48}{{z}^{2}}$即z=2时取等号．
综上，$\frac{{4{z^2}}}{|x|}+\frac{{|{x{z^2}}|}}{y}+\frac{12}{{t（{z-t}）}}$的最小值为24，当且仅当x=-4，y=2，t=1，z=2时等号成立．
故答案为：24．

点评 本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．