Question

18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，P在平面ABC内，且为△ABC外一点，∠BPC=90°
（1）若PB=$\frac{1}{2}$，求PA；
（2）若∠APB=30°，求tan∠PBA．

Answer 1

分析 （1）由题意利用直角三角形中的边角关系求得∠PBC=60°，∠PBA=∠ABC+∠PBC=150°．在△PBA中，由余弦定理求得PA的值．
（2）设∠PBA=x，则∠PBC=x-90°，∠PAB=150°-x，利用锐角三角函数定义表示出BP，利用正弦定理求出tanx的值，即为tan∠PBA的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由于AB=$\sqrt{3}$，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，
直角三角形PBC中，若PB=$\frac{1}{2}$，∵cos∠PBC=$\frac{1}{2}$，∴∠PBC=60°．
∴∠PBA=∠ABC+∠PBC=90°+60°=150°．
在△PBA中，由余弦定理得PA²=+3+$\frac{1}{4}$-2×$\sqrt{3}×\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，∴PA=$\frac{\sqrt{19}}{2}$．
（2）设∠PBA=x，则∠PBC=x-90°，∠PAB=150°-x，
在直角△BPC中，BP=cos（90°-x），
在△PAB中，根据正弦定理得：$\frac{\sqrt{3}}{sin30°}$=$\frac{cos（90°-x）}{sin（150°-x）}$，即sin（150°-x）=$\frac{\sqrt{3}}{6}$sinx，
化简得tanx=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则tan∠PBA=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生的计算能力，熟练掌握定理是解本题的关键．