Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（2cosβ，2sinβ），0＜α＜β＜π，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$．
（1）求β-α的值；
（2）若cosα=$\frac{3}{5}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，代入|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，整理可得cos（β-α）=$\frac{1}{2}$，再结合α，β的范围求得β-α的值；
（2）求出sin（β-α），cos（β-α）的值，结合cosα=$\frac{3}{5}$求得sinβ与cosβ的值，再由二倍角公式求得sin2β的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（2cosβ，2sinβ），
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（cosα-2cosβ，sinα-2sinβ）$，
则$\sqrt{（cosα-2cosβ）^{2}+（sinα-2sinβ）^{2}}=\sqrt{3}$，
∴cos²α+sin²α+4cos²β+4sin²β-4cosαcosβ-4sinαsinβ=3，
化简得：cos（β-α）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，则$β-α=\frac{π}{3}$；
（2）由（1）知$β-α=\frac{π}{3}$，则sin（β-α）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos（β-α）=$\frac{1}{2}$，
又cosα=$\frac{3}{5}$，且0＜α＜β＜π，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，
则cosβ=cos[（β-α）+α]=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$，
sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{4}{5}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=$2×\frac{4+3\sqrt{3}}{10}×\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$=$\frac{-24-7\sqrt{3}}{50}$．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数、余弦函数，考查了三角函数的化简与求值，考查计算能力，体现了“拆角配角”思想方法的运用，是中档题．