Question

13．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，可得：S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），变形为：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），
变形为：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$（n=1时也成立）．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．