Question

下列命题：
①若区间D内存在实数x使得f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；
②y=-

1

x

在定义域内是增函数；
③函数f（x）=

1-x2

|x+1|-1

图象关于原点对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）； 
⑤函数y=f（x+2）图象与函数y=f（2-x）图象关于直线x=2对称；
其中正确命题的个数为（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：①区间D内存在实数x使得f（x+1）＞f（x）时，y=f（x）在D上不一定是增函数；
②y=-

1

x

在区间（-∞，0）和（0，+∞）上是增函数，在定义域上不具有单调性；
③函数f（x）是定义域上的奇函数，图象关于原点对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数f（x）=0，但不一定x∈R；
⑤函数y=f（x+2）图象与函数y=f（2-x）图象不一定关于直线x=2对称．

解答： 解：对于①，当区间D内存在实数x使得f（x+1）＞f（x）时，y=f（x）在D上不一定是增函数，∴①错误；
对于②，y=-

1

x

在区间（-∞，0），和（0，+∞）上是增函数，但在定义域上不具有单调性，∴②错误；
对于③，∵函数f（x）=

1-x2

|x+1|-1

，
∴

1-x2≥0 |x+1|-1≠0

，
解得-1≤x≤1且x≠0，
∴函数f（x）=

1-x2

|x+1|-1

的定义域为{x|-1≤x≤1，且x≠0}，
∴定义域关于原点对称，
∴x+1≥0，∴|x+1|=x+1，
∴f（x）=

1-x2

x

；
∴f（-x）=-

1-x2

x

=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数，
∴函数f（x）的图象关于原点对称，③正确；
对于④，若y=f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）=0，但不一定x∈R，
只要定义域关于原点对称即可，∴④错误；
对于⑤，函数y=f（x+2）图象与函数y=f（2-x）图象不一定关于直线x=2对称，如y=sinx，∴⑤错误．
综上，正确的说法是③．
故答案为：B．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据题意，对每一个选项进行分析，以便得出正确的结果，是中档题．