Question

已知圆x²+y²=25，O为坐标原点．
（1）过点P（0，3

2

）的直线l被该圆截得的弦长为8，求直线l的方程；
（2）△ABC内接于此圆，点A的坐标（3，4），若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）当直线的斜率不存在，检验不符合题意．若直线的斜率存在时，设直线的方程：kx-y+3

2

=0，由题意可知弦心距为3求得k的值，可得直线的方程，综合可得结论．
（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，则他们的斜率互为相反数，又由他们都经过A点，则可以设出他们的点斜式方程，代入圆方程后，求出BC两点的坐标，代入斜率公式，即可求证出正确的结论．

解答： 解：（1）若直线的斜率不存在，即x=0时，求得y=±5，此时弦长为10，不符合题意．
若直线的斜率存在时，设直线的方程：y=kx+3

2

，即kx-y+3

2

=0．
由题意可知弦心距为

52-42

=3，即

|0-0+3 2 |

k2+1

=3，求得k=±1，
故直线l的方程为x-y+3

2

=0，或x+y-3

2

=0．
综上所述：直线方程是x-y+3

2

=0，或x+y-3

2

=0．
（2）证明：∵△ABC内接于此圆，点A的坐标（3，4），直线AB与直线AC的倾斜角互补，
设AB：y=k（x-3）+4，代入圆的方程整理得：（1+k²）x²+（8k-6k²）x+9k²-24k-9=0．
∵3，x₁是上述方程的两根，∴x₁=

3k2-8k-3

1+k2

，y₁=

-4k2-6k+4

1+k2

．
同理求得x₂=

3k2+8k-3

1+k2

，y₂=

-4k2+6k+4

1+k2

，
∴BC的斜率K_BC=

y1-y2

x1-x2

=

3

4

，显然为定值．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想；还考查了韦达定理、斜率公式，属于中档题．