Question

设集合P={t|数列a_n=n²+tn（n∈N^*）单调递增}，集合Q={t|函数f（x）=kx²+tx在区间[1，+∞）上单调递增}，若“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件，则实数k的最小值为

 

．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：分别求出集合P，Q对应的参数t的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义，即可得到结论．

解答： 解：若数列a_n=n²+tn（n∈N^*）单调递增，
则a_n+1＞a_n，
即（n+1）²+t（n+1）＞n²+tn，
即t＞-1-2n，
∵-1-2n≤-3，
∴t＞-3；
当k=0时，f（x）=tx在区间[1，+∞）上单调递增不成立，
∴k≠0，则必有k＞0，
要使当t＞-3，函数f（x）=kx²+tx在区间[1，+∞）上单调递增，
则对称轴-

t

2k

≤1，
即-t≤2k，
即k≥-

t

2

，
∵t＞-3，∴-t＜-

t

2

＜

3

2

，
∴k≥

3

2

，
∴若“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件，则实数k的最小值为k=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题主要考查函数单调性和数列单调性的应用，利用参数分离法是解决本题的关键．