Question

设函数f（x）=

a

3

x3-

3

2

x2+（a+1）x+1，其中a为实数．
（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）已知不等式f′（x）＞x²-x-a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=ax²-3x+a+1，从而由f′（1）=a-3+a+1=0求a并验证；
（2）不等式f′（x）＞x²-x-a+1可化为ax²-3x+a+1＞x²-x-a+1；故a＞

x2+2x

x2+2

对任意a∈（0，+∞）都成立；从而化为

x2+2x

x2+2

≤0；从而解得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

3

x3-

3

2

x2+（a+1）x+1，
∴f′（x）=ax²-3x+a+1；
则由函数f（x）在x=1处取得极值知，
f′（1）=a-3+a+1=0；
解得a=1；
经验证，当a=1时，函数f（x）在x=1处取得极大值；
故a=1；
（2）不等式f′（x）＞x²-x-a+1可化为
ax²-3x+a+1＞x²-x-a+1；
故a＞

x2+2x

x2+2

对任意a∈（0，+∞）都成立；
故

x2+2x

x2+2

≤0；
故-2≤x≤0；
故实数x的取值范围为[-2，0]．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．