Question

已知函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)+sin(ωx-

π

6

)-2cos2

ωx

2

，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函数f（x）的值域；
（II）若函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

，求函数y=f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）设g（x）=-4cos²x-sinx+m，若对任意x₁∈R，总是存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：综合题,压轴题,函数的性质及应用

分析：（I）利用两角和与差的正弦函数、二倍角公式化简不等式，然后利用两角和化简函数为2sin（ωx-

π

6

）-1，解好正弦函数的有界性，求函数f（x）的值域；
（II）利用函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

，求出周期，求出ω，利用正弦函数的单调增区间，求函出数y=f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）若对任意x₁∈R，总是存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂），知f（x₁）_min≥g（x₂）_min，由此能求出m的取值范围．

解答： 解：（I）∵f（x）=2sinωx-（1+cosωx）=2sin（ωx-

π

6

）-1，
∵sin（ωx-

π

6

）∈[-1，1]，
∴f（x）的值域是：[-3，1]，
（II）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，
又由ω＞0，得

2π

ω

，即得ω=2．
于是有f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
所以y=f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z），
（Ⅲ）∵对任意x₁∈R，总是存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂），
∴f（x₁）_min≥g（x₂）_min，
∵f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，g（x）=-4cos²x-sinx+m=4sin²x-sinx+m-4=4（sinx-

1

8

）²+m-

65

16

，
∵x₂∈[0，

π

2

]，
∴sinx₂∈[0，1]，
∴g（x）_min=m-

256

64

，
∵f（x₁）_min=-3，
∴-3≥m-

256

64

，
∴可解得：m≤1．

点评：本小题主要考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力，属于常考题，属于中档题．