题目内容

在长为20m，宽为16m的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点C），展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B点处安装监控摄像头，使点B与圆C在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内（如图阴影所示）．

（1）若圆盘半径为2
5
m，求监控摄像头最小水平视角的正切值；
（2）过监控摄像头最大水平视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角．）
考点：直线与圆的位置关系
专题：计算题,直线与圆
分析：（1）过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连接CA，CE，CB，则CE⊥BE，⊥CA⊥AB，可得监控摄像头水平视角为∠ABE时，水平视角最小；
（2）当∠ABE=60°时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大．
解答： 解：（1）过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连接CA，CE，CB，则CE⊥BE，⊥CA⊥AB
∴监控摄像头水平视角为∠ABE时，水平视角最小．
在直角三角形ABC中，AB=10，AC=8，tan∠ABC=
4
5
，
在直角三角形BCE中，CE=2
5
，BE=
CB2-CE2
=12，tan∠CBE=
5
6
，
∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+
3
5
10
，
∴监控摄像头最小水平视角的正切值为1+
3
5
10
；
（2）当∠ABE=60°时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大．
在平面ABC内，以B为坐标原点，BA为x轴建立平面直角坐标系，则直线BE方程为y=
3
x，
∴CE=
|10
3
-8|
3+1
=5
3
-4，
∴圆C的半径最大为5
3
-4（m）．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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3
，-1）的直线上，写出β的集合；当β∈（-360°，360°）时，求β．
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2
，
π
4
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2
．
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π
4
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1
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+
4
y
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cm2．
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π
6
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π
6
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2
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π
2
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π
2
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（注：满意度=
满意人数
总人数
）
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D、（-9，-7）

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