Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P．过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点．有下列四个命题：
①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．
其中正确的命题是（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：本题考查抛物线的定义和标准方程的有关知识，先由抛物线方程求出M，N的坐标，然后判断△PMN是否为为直角三角形，求出直线PM的方程，然后判断是否相切．

解答： 解：抛物线方程为y²=2px（p＞0），焦点为F（

p

2

，0），则P点坐标为（-

p

2

，0），可求出点M（

p

2

，p），N（

p

2

，-p），
所以|PF|=

1

2

，|MN|=p，所以∠MPN=90°，所以①正确，
又直线PM方程与抛物线方程联立：

y=x+ p 2 y2=2px

，得x²-px+

p2

4

=0，其判别式△=0
所以直线PM必与抛物线相切．所以③正确．
综上①③正确．
故选A．

点评：抛物线y²=2px（p＞0）为标准方程，解题关键是根据标准方程求出M，N坐标．