Question

平面上两点F₁，F₂满足|F₁F₂|=10．设d为实数，令Γ表示平面上满足||PF₁|-|PF₂||=d的所有P点所成的图形．又令圆C为平面上以F₁为圆心，9为半径的圆．给出下列选项：
①当d=0时，Γ为直线；
②当d=1时，Γ为双曲线；
③当d=6时，Γ9与C有两个公共点；
④当d=8时，Γ与C有三个公共点；
⑤当d=10时，Γ与C有两个公共点．
其中是真命题的有：

 

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①d=0时，点P的轨迹Γ是线段F₁F₂的垂直平分线；
②d=1时，点P的轨迹Γ是双曲线；
③d=6时，Γ是双曲线，与圆C有4个交点；
④d=8时，Γ是双曲线，与圆C有3个公共点；
⑤d=10时，点P的轨迹Γ是两条射线，与圆C有1个交点．

解答： 解：对于①，当d=0时，|PF₁|=|PF₂|，点P的轨迹Γ是线段F₁F₂的垂直平分线，命题①正确；
对于②，当d=1时，∵||PF₁|-|PF₂||=1＜|F₁F₂|=10，∴点P的轨迹Γ是双曲线，命题②正确；
对于③，当d=6时，Γ是双曲线，且c=5，a=3，
C是以F₁为圆心、9为半径的圆，Γ与圆C有4个交点，命题③错误；
对于④，当d=8时，Γ是双曲线，且c=5，a=4，
Γ与圆C有三个公共点，∴命题④正确；
对于⑤，当d=10时，∵||PF₁|-|PF₂||=10=|F₁F₂|，
∴点P的轨迹Γ是两条射线，与圆C的交点只有1个，∴命题⑤错误．
综上，正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了双曲线的定义，圆与双曲线的位置关系的应用问题，解题的关键是数形结合，是综合题．