Question

已知c＞0，设命题P：函数y=c^x在R上为减函数，命题q：对?x∈[

1

2

，2]，x+

1

x

＞

1

c

．如果“p或q”为真命题，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据指数函数的单调性，及基本不等式即可求出命题p，q下c的取值范围．根据p或q为真命题，p且q为假命题得p真q假，或p假q真，求这两种情况下c的取值范围再求并集即可．

解答： 解：由命题p知，0＜c＜1；
由命题q，∵x∈[

1

2

，2]时，x+

1

x

≥2，当x=1时取“=”；
∴2＞

1

c

，c＞0；
∴c＞

1

2

；
又p或q为真命题，p且q为假命题，所以p，q一真一假；
p真q假时，0＜c＜1且0＜c≤

1

2

，所以0＜c≤

1

2

；
p假q真时，c≥1且c＞

1

2

，所以c≥1；
综上所述c的取值范围为（0，

1

2

]∪[1，+∞）．

点评：考查指数函数的单调性，基本不等式，以及p或q，p且q真假和p，q真假的关系．