Question

已知椭

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，短轴的一个端点为（0，1），直线l：y=kx-

1

3

与椭圆相交于不同的两点A、B．
（1）若|AB|=

4 26

9

，求k的值；
（2）求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，短轴的一个端点为（0，1），可得

c

a

=

2

2

，b=1，又
a²=b²+c²，联立解得即可得到椭圆的方程．利用根与系数的关系及其弦长公式即可得出．
（2）取k=0时，解得A(-

4

3

，-

1

3

)，B(

4

3

，-

1

3

)．可得以线段AB为直径的圆的方程为x2+(y+

1

3

)2=

16

9

．
可知：此圆过点（0，1）．猜想以AB为直径的圆恒过点M（0，1）．利用数量积运算性质只有证明

MA

•

MB

=0即可．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，短轴的一个端点为（0，1），
∴

c

a

=

2

2

，b=1，又a²=b²+c²，联立解得b=1=c，a=

2

．
∴椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1．
联立

y=kx- 1 3 x2+2y2=2

，化为（9+18k²）x²-12kx-16=0，
△＞0，
x₁+x₂=

12k

9+18k2

，x₁x₂=

-16

9+18k2

．
∵|AB|=

4 26

9

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 144k2 (9+18k2)2 + 64 9+18k2 ]

=

4 26

9

，
化为23k⁴-13k²-10=0，解得k=±1．
（2）取k=0时，解得A(-

4

3

，-

1

3

)，B(

4

3

，-

1

3

)．
可得以线段AB为直径的圆的方程为x2+(y+

1

3

)2=

16

9

．
可知：此圆过点（0，1）．猜想以AB为直径的圆恒过点M（0，1）．
下面给出证明：∵

MA

•

MB

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）
=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=（1+k²）x₁x₂-

4k

3

(x1+x2)+

16

9

=

-16(1+k2)

9+18k2

-

16k2

9+18k2

+

16

9

=0，
∴

MA

⊥

MB

，
因此以AB为直径的圆恒过点M（0，1）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系及弦长公式、数量积运算性质与向量垂直的关系，考查了猜想能力与推理能力、计算能力，属于难题．