Question

8．如图为一组合几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD且PD=AD=2EC=2．
（I）求证：AC⊥平面PDB；
（II）求四棱锥B-CEPD的体积；
（III）求该组合体的表面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合线面垂直的性质可得PD⊥AC，又底面ABCD为正方形，得AC⊥BD，再由线面垂直的判定得AC⊥平面PDB；
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，可得面PDCE⊥面ABCD，进一步得到BC⊥平面PDCE．求出S_梯形PDCE，代入棱锥体积公式求得四棱锥B-CEPD的体积；
（Ⅲ）求解直角三角形得△PBE的三边长，再由三角形面积公式可得组合体的表面积．

解答 （Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
又底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB；
（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，且PD?面PDCE，
∴面PDCE⊥面ABCD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE．
∵S_梯形PDCE=$\frac{1}{2}$（PD+EC）•DC=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
∴四棱锥B-CEPD的体积V_B-CEPD=$\frac{1}{3}$S_梯形PDCE•BC=$\frac{1}{3}$×3×2=2；
（Ⅲ）解：∵BE=PE=$\sqrt{5}$，PB=2$\sqrt{3}$，
∴S_PBE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．
又∵S_ABCD=2×2=4，S_PDCE=3，S_PDA=$\frac{1}{2}×2×2$=2，S_BCE=$\frac{1}{2}×2×1$=1，S_PAB=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴组合体的表面积为10+2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．