Question

3．已知函数f（x）=x²+a|x-1|+1（a∈R），其中a≥0，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 去掉绝对值，写成分段函数的形式，结合图象分类求值域．

解答 解：f（x）=f（x）=x²+a|x-1|+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a+1…x≥1}\\{{x}^{2}-ax+a+1…x＜1}\end{array}\right.$
①当a=0时，f（x）=x²+1，f（x）min=1…（3分）
②当a＞0时，结合图象
（ i）当$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2时，f（x）min=分（1）=2；…（6分）
（ ii）当$\frac{a}{2}＜1$，即0＜a＜2时，f（x）min=f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}+a+1$；…（9分）
综上：f（x）min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{4}+a+1…a＜2}\\{2…a≥2}\end{array}\right.$．…（10分）

点评 本题考查了用分类讨论处理分段函数的值域问题，属于中档题．