Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，E为AD上的点，EF⊥BC，垂足为F，沿EF将矩形ABFE折起，使二面角A-EF-C的大小为60°，连结AD，AC，BC．
（Ⅰ）若M为FC的中点，求证：AC∥平面BEM；
（Ⅱ）求直线CD与平面ABFE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结AF交BE于N，连结MN，由已知得MN∥AC，由此能证明AC∥平面BEM．
（Ⅱ）过E作EG∥DC交FC于G，则直线CD与平面ABFE所成角就是EG与平面ABFE所成角，由此能求出直线CD与平面ABFE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连结AF交BE于N，连结MN，
则N是AF的中点，又因为M为FC的中点，
则MN∥AC，
因为MN?平面BEM，AC?平面BEM，
所以AC∥平面BEM．

（Ⅱ）解：过E作EG∥DC交FC于G，
则直线CD与平面ABFE所成角就是EG与平面ABFE所成角，
过G作GH⊥BF于H，连结EH，
因为EF⊥BF，EF⊥CF，BF∩CF=F，
所以，∠BFC=60°，EF⊥平面BFC，
又GH?平面BFC，所以EF⊥GH，则GH⊥平面AEFB，
故∠GEH就是EG与平面ABFE所成角，
在直角△EFG中，EG=

2

FG，
在直角△HFG中，GH=

3

2

FG，即GH=

6

4

EG，
在直角△EGH中，sin∠GEH=

GH

EG

=

6

4

，
即直线CD与平面ABFE所成角的正弦值为

6

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．