Question

设向量

a

=（2sin（x+

π

3

），-1），

b

=（2cosx，

3

），设函数f（x）=

a

•

b

（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）若2f（x）-m+1=0在[0，

3π

4

]内有两个相异的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由三角函数的周期性及其求法即可得解．
（2）由已知可转化为方程f（x）=

m-1

2

两个相异的实根，即y=f（x）图象与y=

m-1

2

图象有两个交点，结合函数图象，有

3

≤

m-1

2

＜2或-2＜

m-1

2

≤-1，即可解得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=4sin（x+

π

3

）cosx-

3

…1分
=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

…2分
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）…4分
∴T=π…6分
（2）2f（x）-m+1=0在[0，

3π

4

]内有两个相异的实根，
即有方程：f（x）=

m-1

2

两个相异的实根，
即y=f（x）图象与y=

m-1

2

图象有两个交点，…8分
结合函数图象，当

3

≤

m-1

2

＜2或-2＜

m-1

2

≤-1，
即m∈[2

3

+1，5）∪（-3，-1]时原方程有两个相异的实根，
故m∈[2

3

+1，5）∪（-3，-1]…13分

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，考查了转化思想，属于中档题．