Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．直线OM的斜率与l的斜率的乘积为（　　）

• A． $\frac{b^2}{a^2}$
• B． -$\frac{b^2}{a^2}$
• C． -$\frac{c^2}{a^2}$
• D． 不确定，随A，B的变化而变化

Answer 1

分析 涉及弦的中点坐标问题，故可采取韦达定理求解：设直线l的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB的中点，并寻找两条直线斜率关系．

解答 解：设直线l：y=kx+m，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），
将y=kx+m代入椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），整理得（k²a²+b²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，
△＞0，x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}km}{{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}}$，
故x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{{a}^{2}km}{{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}}$，
y_M=kx_M+m=-$\frac{{k}^{2}{a}^{2}m}{{k}^{2}{a}^{2}+{{b}^{2}}_{\;}}$+m=$\frac{{b}^{2}m}{{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴直线OM的斜率k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=-$\frac{\frac{{b}^{2}m}{{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}}}{-\frac{{a}^{2}km}{{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}}}$=-$\frac{{b}^{2}}{k{a}^{2}}$，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为：-$\frac{{b}^{2}}{k{a}^{2}}×k$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
故选：B．

点评 本题考查两直线斜率乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质的合理运用．