Question

14．已知x，y，z为正实数，求证：$\sqrt{{x}^{2}-\sqrt{3}xy+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}$≥$\sqrt{{z}^{2}+zx+{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 可设AD=x，BD=y，CD=z，且∠ADB=30°，∠BDC=90°，运用余弦定理可得AB，BC，AC，再由三角形的性质：两边之和不小于第三边，即可得证．

解答 证明：可设AD=x，BD=y，CD=z，
且∠ADB=30°，∠BDC=90°，
即有AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos30°
=x²+y²-2xy•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=x²+y²-$\sqrt{3}$xy，
BC²=BD²+CD²，即BC²=y²+z²，
AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos120°
=x²+z²-2xz•（-$\frac{1}{2}$）=x²+z²+xz，
由三角形的性质，可得AB+BC≥AC，
可得$\sqrt{{x}^{2}-\sqrt{3}xy+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}$≥$\sqrt{{z}^{2}+zx+{x}^{2}}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用构造法，结合余弦定理，运用三角形的性质：两边之和不小于第三边，考查推理能力，属于中档题．