Question

如图，过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|=

2

|BF|，且|AF|=4+2

2

，则直线AB与抛物线x²=2py（p＞0）所围成的封闭图形的面积为（　　）

• A、4

  2

• B、2

  2

• C、2

  3

• D、4

  3

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：导数的概念及应用

分析：先确定积分的定义域，在确定积分函数，最后通过求定积分来求的相应的面积．

解答： 解：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|=a，则由已知得：|BC|=

2

a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=45°，
在直角三角形ACE中，∵|AE|=4+2

2

，
∴|AC|=4

2

+4
∵|AF|=4+2

2

，
∴|CF|=2

2

，
∴|GF|=2
∴p=2，
∴x²=4y，
∴焦点F的坐标为（0，2），
∴直线l的方程为y=x+2，
由

x2=4y y=x+2

，
解得x=2±2

3

，
∴直线AB与抛物线x²=4y（p＞0）所围成的封闭图形的面积为S=

∫	2+2 3 2-2 3

（ x+2-

1

4

x2）dx=（

1

2

x2+2x-

1

12

x3）|

2+2 3 2-2 3

=4

3

故选：D

点评：定积分类的题先要弄清楚定积分的含义，运算的时候要弄清楚定积分的定义域和积分函数．