Question

是否存在实数a，c，使函数f（x）=

ax+1

x2+c

的值域为[1，5]，若存在，求出a，c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：设y=f（x），y=

ax+1

x2+c

，将该式变成：yx²-ax+cy-1=0，所以把该式可看成关于x的一元二次方程，方程有解．所以会得到△=a²-4y（cy-1）≥0，可将该不等式看成关于y的一元二次不等式，并且不等式的解是[1，5]，所以1，5便是方程a²-4y（cy-1）=0的两实根，这样带入或根据韦达定理求a，c即可．

解答： 解：令y=f（x），y=

ax+1

x2+c

；
∴y（x²+c）=ax+1，将该式整理成：yx²-ax+cy-1=0，可以将该式看成关于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=a²-4y（cy-1）≥0，将该不等式变成：-4cy²+4y+a²≥0，可以将该不等式看成关于y的不等式，并且解集为[1，5]；
∴1，5是方程-4cy²+4y+a²=0的两实根；
∴

1+5= 1 c 1•5=- a2 4c

，解得c=

1

6

，a²=-

10

3

；
∴不存在a，c使f（x）的值域为[1，5]．

点评：考查函数的值域，一元二次不等式的解和判别式△的关系，以及韦达定理．