某省去年高三200000考生英语听力考试成绩服从正态分布N.现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩.发现全部介于[6.30]之间.将成绩按如下方式分成6组:第1组[6.10).第2组[10.14).-.第6组[26.30].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)估算该校50名考生成绩的众数和中位数,(2)求这50名考生� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

某省去年高三200000考生英语听力考试成绩服从正态分布N（17，9），现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如下方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10，14），…，第6组[26，30]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）估算该校50名考生成绩的众数和中位数；
（2）求这50名考生成绩在[22，30]内的人数；
（3）从这50名考生成绩在[22，30]内的人中任意抽取2人，该2人成绩排名（从高到低）在全省前260名的人数记为X，求X的数学期望．
参考数据：
若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，
P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，
P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．

分析（1）根据频率分布直方图，求出众数和中位数；
（2）这50名考生成绩在[22，30]内的人数4×（0.02+0.03）×50=10
（3）求出P（X≥26）=0.0013，0.0013×200 000=260．全省前260名的排名（从高到低）最低是26，这50人中26分以上的有6人，确定X的可能取值，求出其概率，即可得到X的分布列与期望．

解答解：（1）该校50名考生成绩的众数是$\frac{14+18}{2}$=16；
设中位数为x，则4×0.02+4×0.05+（x-14）×0.08=0.5，
解得：x=16.75，即中位数为16.75；
（2）这50名考生成绩在[22，30]内的人数4×（0.02+0.03）×50=10；
（3））∵P（17-3×3＜X≤17+3×3）=0.9974，
∴P（X≥26）=0.0013，0.0013×200 000=260．
∴全省前260名的排名（从高到低）最低是26，这50人中26分以上的有50×0.02×4=4人．
随机变量X可取0，1，2，于是
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，
∴E（X）=0×$\frac{1}{3}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{2}{15}$=$\frac{4}{5}$．

点评此题主要考查了正态分布，考查随机变量的定义及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正确理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，由频数分布直方图可以得到什么结论是学习中需要掌握的关键．