Question

20．已知函数f（x）=x+1g$\frac{x+1}{1-x}$．
（1）判断并证明函数f（x）在定义城上的奇偶性；
（2）判断f（x）的单凋性（不需要证明）；
（3）解不等式f（x-1）+f（2-3x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）写出函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由$\frac{x+1}{1-x}$＞0，解得：-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域是（-1，1），
而f（-x）=-x+lg$\frac{-x+1}{1+x}$=-x-lg$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数；
（2）f（x）在（-1，1）单调递增；
（3）∵f（x-1）+f（2-3x）＞0，
∴f（x-1）＞f（3x-2），
∵f（x）是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-1＜1}\\{-1＜3x-2＜1}\\{x-1＞3x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性，考查对数函数的性质，是一道基础题．