Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，则a_n=n+1．

Answer 1

分析 a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，可得a₂=3，a₃=4，a₄=5，…，猜想a_n=n+1．再利用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，
∴a₂=2²-2+1=3，a₃=4，a₄=5，…，
猜想a_n=n+1．
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a₁=2；
（2）假设n=k（k∈N^*）时，a_k=k+1成立，
则n=k+1，a_k+1=${a}_{k}^{2}-k{a}_{k}$+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+1+1．
∴当n=k+1时猜想成立．
综上可得：?n∈N^*，都有a_n=n+1．
故答案为：n+1．

点评 本题考查了数学归纳法、递推关系，考查了猜想推理能力与计算能力，属于中档题．