Question

20．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），点A的极坐标为（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．
（Ⅰ） 写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ） 求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；
（Ⅱ） 点A的直角坐标为（3，$\sqrt{3}$），设点P，Q对应的参数分别为t₁，t₂，点P，Q的极坐标分别为（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$）．将$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与（x-2）²+y²=3联立，得：t₁t₂=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-4x+1=0，即
（x-2）²+y²=3…（2分）
直线l的普通方程为x-$\sqrt{3}$y=0                     …（4分）
（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，$\sqrt{3}$），设点P，Q对应的参数分别为t₁，t₂，点P，Q的极坐标分别为（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$）．
将$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与（x-2）²+y²=3联立得：t²+2$\sqrt{3}$t+1=0，
由韦达定理得：t₁t₂=1，|AP||AQ|=1                 …（6分）
将直线的极坐标方程θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ²-4ρcosθ+1=0联立得：
${ρ}^{2}-2\sqrt{3}ρ+1=0$，由韦达定理得：ρ₁ρ₂=1，即|OP||OQ|=1 …（8分）
所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t₁t₂|ρ₁ρ₂|=1．…（10分）

点评 本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．