Question

11．已知函数f（x）=|x-a²|+|2x+$\frac{2}{{a}^{2}}$|-3
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若对于任意非零实数a以及任意实数x，不等式f（x）＞b-|x-a²|恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，分类讨论$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3x-2，x≥1}\\{x，-1＜x＜1}\\{-3x-4，x≤-1}\end{array}\right.$，求解不等式f（x）＞2的解集即可；
（2）由f（x）＞b-|x-a²|，得到|x-a²|+|2x+$\frac{2}{{a}^{2}}$|-3＞b-|x-a²|，然后利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3x-2，x≥1}\\{x，-1＜x＜1}\\{-3x-4，x≤-1}\end{array}\right.$，
∴不等式f（x）＞2的解集为（-∞，-2）∪（$\frac{4}{3}$，+∞）；
（2）∵f（x）＞b-|x-a²|，
∴|x-a²|+|2x+$\frac{2}{{a}^{2}}$|-3＞b-|x-a²|，
∴$2（|x-{a}^{2}|+|x+\frac{1}{{a}^{2}}|）-3＞b$．
又∵$2（|x-{a}^{2}|+|x+\frac{1}{{a}^{2}}|）≥2（{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}）-3$$≥4\sqrt{{a}^{2}×\frac{1}{{a}^{2}}}-3=1$，
∴b＜1，故实数b的取值范围（-∞，1）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的运用，考查了分类讨论的思想方法，是基础题．