Question

8．如图，过点A的线段AB，AC，AD在点A处两两垂直，点E为直线BC外一点．
（1）若AD∥平面BCE，求证：平面BCE⊥平面ABC；
（2）若DE⊥平面BCE，平面BCE⊥平面ABC，AB=AC=AD，求二面角A-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥平面ABC，平面BCE中必有一条直线l∥AD，从而直线l⊥平面ABC，由此能证明平面BCE⊥平面ABC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD-E的余弦值．

解答 证明：（1）∵过点A的线段AB，AC，AD在点A处两两垂直，
∴AD⊥平面ABC，
AD∥平面BCE，∴平面BCE中必有一条直线l∥AD，
∴直线l⊥平面ABC，
∵直线l?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ABC．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，
取BC中点F，连AF、EF，设AB=AC=AD=2，
∵DE⊥平面BCE，平面BCE⊥平面ABC，
∴DE∥AF，AD∥EF，∴B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），
$\overrightarrow{BD}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BE}$=（-1，1，2），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角A-BD-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角A-BD-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．