Question

15．如图，梯形ABEF中，AB∥EF，AF⊥BF，O，M分别是AB，FC的中点，矩形ABCD所在的平面与ABEF所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）证明：AF⊥平面CBF；
（2）证明：OM∥平面DAF；
（3）若二面角D-BC-F为60°，求直线EM与平面CBF所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥AB，从而BC⊥平面ABEF，进而BC⊥AF，由此能证明AF⊥平面CBF．
（2）取CD中点N，连结ON，MN，推导出平面ADF∥平面MNO，由此能证明OM∥平面DAF．
（3）推导出∠ABF=∠BFE=60°，BF=BE=1，取BF中点H，连结EH，MH，则∠MEH是直线EM与平面CBF所成角，由此能求出直线EM与平面CBF所成角．

解答 证明：（1）∵梯形ABEF中，AB∥EF，AF⊥BF，
矩形ABCD所在的平面与ABEF所在的平面互相垂直，
∴BC⊥AB，又平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴BC⊥平面ABEF，又AF?平面ABEF，∴BC⊥AF，
∵BC∩BF=B，∴AF⊥平面CBF．
（2）取CD中点N，连结ON，MN，
∵O，M分别是AB，FC的中点，ABCD是矩形，
∴ON∥AD，MN∥DF，
∵AD∩DF=D，ON∩MN=N，AD、DF?平面ADF，ON、MN?平面MNO，
∴平面ADF∥平面MNO，
∵OM?平面MNO，∴OM∥平面DAF．
解：（3）∵BC⊥平面ABEF，AB、BF?平面BEF，
∴AB⊥BC，BF⊥BC，∴∠ABF是二面角D-BC-F的平面角，∴∠ABF=60°，
∵梯形ABEF中，AB∥EF，AF⊥BF，AB=2，AD=EF=1，
∴∠BFE=60°，BF=1，∴BE=1，
取BF中点H，连结EH，MH，则MH⊥平面ABEF，EH⊥BF，
∴EH⊥MH，又MH∩BF=H，∴EH⊥平面CBF，
∴∠MEH是直线EM与平面CBF所成角，
∵MH=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$，EH=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∠MEH=$\frac{MH}{EH}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠MEH=$\frac{π}{6}$，
∴直线EM与平面CBF所成角为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．