Question

17．在△ABC中，若2sin$\frac{B}{2}$•cos$\frac{B}{2}$•sinC=cos²$\frac{A}{2}$，则△ABC是（　　）

• A． 等边三角形
• B． 等腰三角形
• C． 非等腰三角形
• D． 直角三角形

Answer 1

分析 由已知利用倍角公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos（B-C）=1，结合角的范围，即可得解△ABC是等腰三角形．

解答 解：∵2sin$\frac{B}{2}$•cos$\frac{B}{2}$•sinC=cos²$\frac{A}{2}$，
∴sinBsinC=$\frac{1+cosA}{2}$，可得：2sinBsinC=1+cosA=1-（cosBcosC-sinBsinC），
∴sinBsinC=1-cosBcosC，可得：sinBsinC+cosBcosC=1，
∴cos（B-C）=1，
∵B，C∈（0，π），
∴B-C∈（-π，π），
∴B-C=0，可得：B=C，则△ABC是等腰三角形．
故选：B．

点评 本题主要考查了倍角公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．