Question

过曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作曲线C₂：x²+y²=a²的切线，设切点为M，延长FM交曲线C₃：y²=2px（p＞0）于点N，其中曲线C₁与C₃有一个共同的焦点，若点M为线段FN的中点，则曲线C₁的离心率为（　　）

• A、

  5

• B、

  5

  2

• C、

  5

  +1
• D、

  5 +1

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为FF'的中点，M为FN的中点，可得OM为△NFF'的中位线，从而可求|NF|，再设N（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．

解答： 解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
因为曲线C₁与C₃有一个共同的焦点，所以y²=4cx
因为O为FF'的中点，M为FN的中点，所以OM为△NFF'的中位线，
所以OM∥PF'
因为|OM|=a，所以|NF'|=2a
又NF'⊥NF，|FF'|=2c 所以|NF|=2b
设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，
∴x=2a-c
过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²，即4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e²-e-1=0，
∴e=

5 +1

2

．
故选：D．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．