Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（1，

2

16

），P_n（1-

1

2n

，0）（n∈N^*）．记直线AP_n的倾斜角为α_n，∠P_nAP_n+1=θ_n，△P_nAP_n+1的面积为S_n，求：
（1）α₄（用反三角函数值表示）；
（2）S_n及则 

lim

n→∞

（S₁+S₂+…+S_n）；
（3）θ_n的最大值及相应n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的极限

专题：综合题

分析：（1）由两点求斜率求得kAPn=

0- 2 16

1- 1 2n -1

=2n-

7

2

，进一步得到kAP4=

2

，再由反三角求得α₄；
（2）首先求出△P_nAP_n+1的底边长

1

2n+1

，代入三角形的面积公式可得Sn=

1

2

×

1

2n+1

×

2

16

=

2

2n+6

，说明数列{S_n}构成以S1=

2

27

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，然后直接由公式可得 

lim

n→∞

（S₁+S₂+…+S_n）；
（3）由（1）知kAPn+1=2n-

5

2

，结合到角公式可得tanθn=

kAPn+1-kAPn

1+kAPn+1•kAPn

=

2n- 5 2 -2n- 7 2

1+2n- 5 2 •2n- 7 2

=

2n- 7 2 (2-1)

1+2n- 5 2 •2n- 7 2

，整理后利用基本不等式求得tanθ_n的最大值，并进一步得到θ_n的最大值，由不等式等号成立的条件求得n的值．

解答： 解：（1）∵A（1，

2

16

），P_n（1-

1

2n

，0），∴kAPn=

0- 2 16

1- 1 2n -1

=2n-

7

2

，
则kAP4=

2

，即tanα4=

2

，∴α4=arctan

2

；
（2）|Pn+1-Pn|=|1-

1

2n+1

-1+

1

2n

|=|

1

2n

-

1

2n+1

|=

1

2n+1

，
∴Sn=

1

2

×

1

2n+1

×

2

16

=

2

2n+6

；
∴数列{S_n}构成以S1=

2

27

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
则 

lim

n→∞

（S₁+S₂+…+S_n）=

2 27

1- 1 2

=

2

64

；
（3）由（1）知kAPn+1=2n-

5

2

，
由到角公式可得tanθn=

kAPn+1-kAPn

1+kAPn+1•kAPn

=

2n- 5 2 -2n- 7 2

1+2n- 5 2 •2n- 7 2

=

2n- 7 2 (2-1)

1+2n- 5 2 •2n- 7 2

=

2n- 7 2

1+2n- 5 2 •2n- 7 2

=

1

1 2n- 7 2 +2•2n- 7 2

≤

1

2 1 2n- 7 2 •2•2n- 7 2

=

2

4

．
当且仅当

1

2n- 7 2

=2•2n-

7

2

，即n=3时上式取“=”．
则θ_n的最大值为arctan

2

4

，此时n=3．

点评：本题考查了数列求和，考查了直线的倾斜角与斜率，考查了反三角函数，训练了到角公式的应用及基本不等式求最值，考查了计算能力，是中高档题．