Question

16．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=AD=2DC=2$\sqrt{2}$，PA=4且E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取PA中点Q，连结QE、QD，推导出四边形QECD是平行四边形，由此能证明CE∥平面PAD．
（2）过E作平面PAC的垂线，记垂足为O，连结CO，∠ECO是直线CE与平面PAC所成的角，过B作BN⊥AC，记垂足为N，过E作EM⊥AB=M，连结CM，由此能求出直线CE与平面PAC所成角的正切值．

解答 证明：（1）取PA中点Q，连结QE、QD，
∵E为PB中点，∴QE∥AB，且QE=$\frac{1}{2}$AB，
∵底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠BDA=90°，AB=AD=2DC=2$\sqrt{2}$，
∴QE∥CD，且QE=CD，∴四边形QECD是平行四边形，
∴EC∥QD，又EC?平面PAD，QD?平面PAD，
∴CE∥平面PAD．
解：（2）过E作平面PAC的垂线，记垂足为O，连结CO，
则∠ECO是直线CE与平面PAC所成的角，
过B作BN⊥AC，记垂足为N，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BN，
又PA，AC?平面PAC，且PA∩AC=A，
∴BN⊥平面PAC，
∴EO∥BN，又∵E是AB的中点，∴EO=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
过E作EM⊥AB=M，连结CM，得CE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CEO中，CO=$2\sqrt{\frac{13}{5}}$，则tan∠ECO=$\frac{EO}{CO}$=$\frac{\sqrt{26}}{13}$，
∴直线CE与平面PAC所成角的正切值为$\frac{\sqrt{26}}{13}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．