Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O，E为线段PC上一点，且AC⊥BE，
（1）求证：PA∥平面BED；
（2）若BC∥AD，BC=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，PA=3且AB=CD，求PB与面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接OE，推导出AC⊥OE，AC⊥PA，从而OE∥PA，由此能证明PA∥平面BED．
（2）分别以OB，OC，OE为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出PB与平面PCD所成角的正弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）∵AC⊥BD，AC⊥BE，BD∩BE=B，
∴AC⊥平面BDE，连接OE，…（1分）
∴AC⊥OE，又PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥PA，又OE，PA都是平面PAC中的直线，
∴OE∥PA，…（3分）
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BED．…（4分）
解：（2）∵BC∥AD，BC=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，且AB=CD，
∴在等腰梯形ABCD中，OB=OC=1，OA=OD=2，…（5分）
由（1）知OE⊥平面ABCD，分别以OB，OC，OE为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则B（1，0，0），C（0，1，0），D（-2，0，0），P（0，-2，3），…（6分）
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-2x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3y-3z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，则y=z-2，$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-2），…（9分）
又$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-3），
∴cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，…（11分）
∴PB与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．