Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（I）证明：BE∥平面ADP；
（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，由此能证明BE∥平面ADP．
（Ⅱ）连接BM，推导出PD⊥EM，PD⊥AM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）如图，取PD中点M，连接EM，AM．
∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=$\frac{1}{2}$DC，
又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，
∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．
∵AM?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥平面ADP．
解：（Ⅱ）连接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，
而EM∥CD，∴PD⊥EM．
又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，
∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，
∴平面BEM⊥平面PBD．
∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，
∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，
∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．
依题意，有PD=2$\sqrt{2}$，而M为PD中点，
∴AM=$\sqrt{2}$，进而BE=$\sqrt{2}$．
∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM=$\frac{EM}{BM}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线BE与平面PDB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．