Question

18．数列{a_n}的前n项和为S_n满足log_a（S_n+a）=n+1（a＞0且a≠1），且数列{a_n}是一个公比是$\frac{1}{2}$的等比数列，则实数a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由log_a（S_n+a）=n+1（a＞0且a≠1），可得S_n+a=aⁿ⁺¹，利用递推关系可得：a₁，a₂．根据数列{a_n}是一个公比是$\frac{1}{2}$的等比数列，可得${a}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}$，解出即可．

解答 解：由log_a（S_n+a）=n+1（a＞0且a≠1），
可得S_n+a=aⁿ⁺¹，
∴a₁=a²-a，a₁+a₂+a=a³，
解得a₂=a³-a²，
∵数列{a_n}是一个公比是$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴${a}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}$，即a³-a²=$\frac{1}{2}$（a²-a），
解得a=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．