Question

7．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，过E点做EF⊥PB交PB于点F．求证：
（1）PA∥平面DEB；
（2）PB⊥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）由题意连接AC，AC交BD于O，连接EO，则EO是中位线，证出PA∥EO，由线面平行的判定定理知PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD．

解答 证明：（1）连接AC，AC交BD于O．连接EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．
∴在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥EO，
∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，
∴PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，可得：BC⊥平面PDC．
∵DE?平面PDC，
∴BC⊥DE．
又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．
∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．
又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．

点评 本题考查了线线、线面平行和垂直的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行；垂直关系的转化是由线面垂直的定义和判定定理实现，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．