Question

2．已知函数f（x）=lg（m^x-2^x）（0＜m＜1）．
（1）当m=$\frac{1}{2}$时，求f（x）的定义域．
（2）若f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将m=$\frac{1}{2}$代入得到f（x）的解析式，根据解析式要有意义，列出不等式，求解即可得到f（x）的定义域；
（2）将f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，等价为f（x）＞0在（-∞，-1]上恒成立，转化为f（x）_min＞0，利用f（x）的单调性即可求出f（x）的最小值，从而列出不等式，求解即可得到m的取值范围．

解答 解：（1）当m=$\frac{1}{2}$时，f（x）=lg[（$\frac{1}{2}$）^x-2^x]，
∴（$\frac{1}{2}$）^x-2^x＞0，即2^-x＞2^x，
∴-x＞x，即x＜0，
∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}；
（2）设x₂＜0，x₁＜0，且x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，
令g（x）=m^x-2^x，
∴g（x₂）-g（x₁）=m^x₂-2^x₂-m^x₁+2^x₁=m^x₂-m^x₁+2^x₁-2^x₂，
∵0＜m＜1，x₁＜x₂＜0，
∴m^x₂-m^x₁＜0，2^x₁-2^x₂＜0，
∴g（x₂）-g（x₁）＜0，即g（x₂）＜g（x₁），
∴lg（g（x₂））＜lg（g（x₁）），
∴lg（g（x₂））-lg（g（x₁））＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）在（-∞，-1]上是单调递减函数，
∴f（x）在（-∞，-1]上的最小值为f（-1）=lg（m^-1-2^-1），
∵f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，即f（x）＞0在（-∞，-1]上恒成立，
∴f（x）_min＞0，
∴f（-1）=lg（m^-1-2^-1）＞0，即m^-1-2^-1＞1，
∴$\frac{1}{m}$＞1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵0＜m＜1，
∴0＜m＜$\frac{2}{3}$，
故m的取值范围为0＜m＜$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了函数定义域的求解，函数单调性的判断及其证明，函数恒成立问题的求解．对于求函数的定义域即求使得解析式有意义的x的取值集合．函数恒成立问题的，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．