题目内容
17.已知F是抛物线E:y2=4x的焦点,过点F的直线交抛物线E于P,Q两点,线段PQ的中垂线仅交x轴于点M,则使|MF|=λ|PQ|恒成立的实数λ=$\frac{1}{2}$.分析 由根据抛物线的定义得:|PQ|=x1+x2+2,由y12=4x1,y22=4x2,相减得,y12-y22=4(x1-x2),求得直线斜率k,求得直线PQ的方程,代入求得M点坐标,求得|MF|,则$\frac{丨FR丨}{丨PQ丨}$=$\frac{1}{2}$,即可求得λ.
解答 解:抛物线E:y2=4x的焦点F为(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则根据抛物线的定义得:|PQ|=x1+x2+2,
由y12=4x1,y22=4x2,相减得,y12-y22=4(x1-x2),
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}-{y}_{2}}$,
则线段PQ的中垂线的方程为:y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{2p}$(x-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$),
令y=0,得M的横坐标为2+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,又F(1,0),
∴|MF|=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{2}$,
则$\frac{丨FR丨}{丨PQ丨}$=$\frac{1}{2}$.
|MF|=$\frac{1}{2}$|PQ|,
故答案为:$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查抛物线的定义,直线的斜率公式,中点坐标公式,考查计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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8.设(1+i)(x+yi)=2,其中x,y是实数,则|2x+yi|=( )
| A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{5}$ |
2.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+7=0都外切的圆的圆心在( )
| A. | 一个圆上 | B. | 一个椭圆上 | C. | 双曲线的一支上 | D. | 抛物线上 |