Question

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x₀，2），（x₀+$\frac{π}{2}$，-2）．
（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；
（2）若当0≤x≤$\frac{11π}{12}$时，方程f（x）-m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图象与y轴的交点为（0，1）求出φ的值，可得函数的解析式，利用正弦函数的单调性可求单调递增区间；
（2）在同一坐标系中画出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和直线y=m（m∈R）的图象，结合正弦函数的图象的特征，数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和．

解答 （本题满分为15分）
解：（1）由题意可得：A=2，
由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x₀，2），（x₀+$\frac{π}{2}$，-2），可得：
$\frac{T}{2}$=（x₀+$\frac{π}{2}$）-x₀=$\frac{π}{2}$，可得：T=π，
∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），
又∵图象与y轴的交点为（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）…4分
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可解得f（x）的单调递增区间是：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z…8分
（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和y=m（m∈R）的图象，
由图可知，当-2＜m≤0或1≤m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，
当-2＜m≤0时，两根和为$\frac{4π}{3}$；
当1≤m＜2时，两根和为$\frac{π}{3}$…15分

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，考查了正弦函数的图象的特征，属于中档题．