Question

已知数列{a_n}，{b_n}各项均为正数，且对任意n∈N^*，都有a_n，b_n，a _n+1成等差数列，b_n，a _n+1，b _n+1成等比数列，且a₁=10，a₂=15，求证：{

bn

}为等差数列并求出{a_n}，{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n+1²=b_n•b_n+1，（n∈N^*），从而a_n=

bnbn-1

，（n≥2），由a_n，b_n，a_n+1成等差数列，得2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，（n≥2），由此能证明数列{

bn

}是等差数列．由a₁=10，a₂=15，得

b1

=

5 2

2

，从而b_n=（2

2

+

2 n

2

）²=

n2

2

+4n+8，（n≥2），由此能求出b_n=

n2

2

+4n+8，（n∈N^*），a_n=

1

2

n²+

7

2

n+6．（n∈N^*）．

解答： 证明：∵b_n，a _n+1，b _n+1成等比数列，
∴a_n+1²=b_n•b_n+1，（n∈N^*）
∴a_n+1=

bnbn+1

，
∴a_n=

bnbn-1

，（n≥2）
∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，
∴2b_n=a_n+a_n+1，（n∈N^*）
∴2b_n=

bn×bn-1

+

bn×bn+1

=

bn

（

bn-1

+

bn+1

），（n≥2）
2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，（n≥2）
∴数列{

bn

}是等差数列．
∵a₁=10，a₂=15，∴2b₁=a₁+a₂=25，b₁=

25

2

，

b1

=

5 2

2

，
∵a_n=

bn-1bn

，（n≥2），
∴a₂=

b1

b2

，

b2

=

a2

b1

=3

2

，
∴d=

b2

-

b1

=

2

2

，∴

bn

=

5 2

2

+（n-1）•

2

2

=2

2

+

2

2

n，
∴b_n=（2

2

+

2 n

2

）²=

n2

2

+4n+8，（n≥2）
当n=1时，解得b₁=

25

2

，∴b_n=

n2

2

+4n+8，（n∈N^*）
a_n=

bn

b_n-1=

(2 2 + 2 n 2 )2[2 2 + 2 (n-1) 2 )2

=（2

2

+

2 n

2

）（2

2

+

2 (n-1)

2

）
=8+2n+2（n-1）+

1

2

n（n-1）
=

1

2

n²+

7

2

n+6．（n≥2）
当n=1时，解得a₁=10，满足条件，
∴a_n=

1

2

n²+

7

2

n+6．（n∈N^*）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．