Question

11．已知圆M：（x-1）²+（y-1）²=4，直线l过点P（2，3）且与圆M交于A，B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求直线l方程；
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀）为圆M上的点，求x₀²+y₀²的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别由条件利用点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率，可得直线l的方程．
（Ⅱ）利用 x₀²+y₀²的几何意义．求解圆心与坐标原点的距离，转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0，
作MC⊥AB于C，在直角三角形MBC中，BC=$\sqrt{3}$，MB=2，
所以MC=1，又因为MC=$\frac{|k-1+3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$\frac{3}{4}$，所以直线方程为3x-4y+6=0．
当直线斜率不存在时，其方程为x=2，圆心到此直线的距离也为1，
所以也符合题意，
综上可知，直线L的方程为3x-4y+6=0或x=2．
（Ⅱ）圆M：（x-1）²+（y-1）²=4，Q（x₀，y₀）为圆M上的点，
x₀²+y₀²的几何意义是圆的上的点与坐标原点距离的平方，圆心到原点的距离为：$\sqrt{2}$，圆的半径为2，
x₀²+y₀²的取值范围：[0，$（2+\sqrt{2}）^{2}$]，即[0，6+4$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，